用有限元法分析用有限元法分析异步电动机
【摘要】阐述了有限元方法和牛顿迭代算法，建立了电机有限元磁场模型， 并对异步电动机进行性能分析，在实际电机上得到验证。
关键词：有限元法；异步电动机；牛顿迭代法
1、引 言
电气工作者把分布参数系统问题归结为集中参数系统问题求解，是屡见不鲜的。有限元数值解法，就是这种相同的思考方法。但是，有限元问世后，在电工行业中却远不及力学领域等应用得充分。
有限元法的特点是适用于求解各种形式（几何上、物理上）复杂的问题，精度高，通用性强，对问题的处理既彻底又系统，适用于采用电子计算机方式。它本是线性问题的解法，但通过迭代法（如牛顿-拉裴森迭代法）也能巧妙地解决非线性问题。用来求解电磁场问题远较电工行业中常用的图解法、电解槽法等优越。因此，随着科学技术的发展，各类超高压、大容量、高精度的电工产品的研制，其磁场等的精确计算直接关系到该产品的优异性能和技术经济指标。有限元法这一有力工具，在电工行业中，在电磁研究领域里，越来越有广泛的应用。
用有限元法对异步电动机性能进行分析的方法，在实际电机产品中得到验证。在磁场中向量场函数B的旋度：
(1)
(2)
则磁场的基本方程
(3)
式中 B——磁感应强度
μ——介质常数
J——电流密度
从电机中截出横断面，在这里的磁场可视为平行平面场。
设选定坐标使B和A在Z轴方向的分量为零，向量磁位A、电流密度向量J只有Z轴方向的分量，令磁阻率，于是方程（3）化为二维形式。
(4)
电机定、转子为硅钢片迭成，由于铁磁物质受饱和影响，磁化特性非线性,如图1示，磁阻是磁场强度H的函数，所以方程（4）是一个偏微分方程，直接求解这样的非线性偏微分方程是比较困难的，使用数值计算法——有限元法，可得到较高精度的解。
图1 DG41(厚度0.35mm)硅钢片磁化曲线
2、有限元法
有限元法的基本原理是以变分原理和剖分插值为基础的一种数值计算方法，把所要求的电磁场问题即偏微分方程的边值问题化为与之等价的变分问题即所谓泛函数的极值问题。从而得到一个高阶非线性方程组。最后求解方程组，即得待求的电磁场问题的近似解。
为了用有限元法解方程（3），首先必须确定一个恰当的泛函。根据微积分中函数的极值原理，可以证明（证明从略）泛函。
（5）
与式（4）等价，即上述偏微分方程的定解问题等价为条件变分问题。条件变分问题与其等价的偏微分方程边值问题比较，在边界问题上要简便得多，且在这样的基础上才能进行剖分插值。
根据电机的结构，转子位置不同时磁场的分布情况不一样，我们尽量利用结构磁场的对称性，缩小其求解区域。将确定的求解区域，剖分成有限个三角形单元，剖分时，不同介质的交换面必须是三角形单元的边，关键部分剖分密度大一些，避免出现太尖太钝三角元，以保证计算的精度。
2.1 剖分插值
将问题区域剖分成若干三角形单元，其顶点为i,j,m, 假设位函数用式(6)来近似：
A(x,y)=a+bx+cy (6)
式中的系数a,b,c可由3个联立的独立方程来确定。
假定位函数值为顶点值Ai, Aj,Am, 将3个顶点的位值Ai, Aj,Am及其坐标（x1,y1）,（x2,y2），（x3,y3）代入式（6），求解联立方程，得系数a,b,c，并将结果代入式（6），就得到
将x,y和逆系数矩阵的元素组合为新的位置函数，则可写成
(7)
式中
它仅是位置的线性函数，而Δ代表三角形的面积。可通过下标的循环置换而获得，可以证明式（7）是三角形三个顶点的内插函数。
2.2 有限元的求极小值
泛函式（5）在非线性情况下的离散，基本上按照线性问题所采用的同样方法进行。假定问题的求解域D离散成一组互不重叠的有限单元，并着重考虑一个单元，在单个单元内，磁位A可用式（7）表示，借助于这一代换，W（A）就变成有限的有限元变量的普通函数，从而所需的求极小值过程简单的就是
(8)
式中 E0——求解区域剖分的总单元数
L0——求解区域剖分的总节点数
即
式中 (9)
将式（9）代入式（8）且将代入，则方程（8）变成短阵形式：
SA=J （10）
式中 A——节点磁位值向量
J——电流密度列向量，各项为
S——单元系数矩阵，包含下列各项
磁阻率υ是A值的函数，而且还与磁场相关。由于铁磁材料的饱和，故方程（8）是非线性方程组，对于空气介质中的单元，则按其材料及所在频率下的磁化曲线计算磁阻率。为了适用电子计算机计算，进行分段插值，实测的磁化曲线，如图1示。
从曲线拐弯处开始取曲线上25个节点Bi和对应的函数Hi(i=1,2,…,25), 由B和H构成拉格朗日多项式。
从而得
2.3 求解非线性方程组的牛顿迭代法
设A为所求的准确解，A(k)表示一个不准确但却是适当接近A的估计值。
A(k)=A-ΔA(k) (11)
将W(A)梯度的每一个分量展开成A(k)附近的多元泰勒级数
（12）
若略去泰勒级数中超过第二项的各项
则方程（12）就提供了计算A(k)对A的偏差的方法
ΔA=-P-1V (13)
式中，P点牛顿迭代的雅可比矩阵，其元素
V是W(A)在A(k)处的梯度
现假设由磁位A(k)的某组初值A(0)出来构造迭代方法，并利用式（13）计算该初值对A的偏差，然后将此算得的偏差加到最初估计的磁位上去，以构成较好的估计值，A(k+1)=A(k)+ΔA，并且重复这个过程，这样迭代格式
A(k+1)=A(k)-[P(k)]-1V(k)
就产生了收敛于A的牛顿迭代序列。
3、具体计算
本分析方法对型号Y112M, 额定功率4kW四极三相异步电动机，用其几何参数在486PC微型计算机上计算。其计算流程如图2，求得该电动机在起动时的磁场分布，如图3示和空载运行时磁场分布，如图4示。
图2 计算流程图
图3 三相异步电动机起动时的磁场分布
图4 三相异步电动机空载运行时的磁场分布
4、 结果分析与验证
从电动机起动运行顿号空载运行两种工况分别所得磁场分布图，明显不同。在起动瞬间，转子电流频率等于定子电源频率。转子集肤效应显著，通过气隙进入转子的磁通，不能达到转子轭部，只能在槽表面部穿过。而电动机在空载运行时，滑差很小，转子电流频率很低，挤流效应很小。因此气隙磁通由齿槽穿过进入转子轭部，分布均匀。印证了电动机实际运行状况。我们还计算了该电动机起动转矩与转速特性，输入电流与转速特性，计算值与进行规范性实验所得特性曲线符合，如图5示。可以看出，用有限元法分析计算准确可靠。
图5 特性曲线
1，1′转矩转速特性；2，2′输入电流转速特性；
——计算值 - – -测量值
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