2 数字化曲面展成方法的研究

1. 曲面的数字化
   曲面的数字化即是在控制精度的前提下合理确定曲面数据点的数量及其分布，其最终目的是为形成数字化曲面提供合理、精确的三维数据。曲面的数字化可分为真实曲面的数字化和虚拟曲面的数字化两类。真实曲面的数字化是通过对实物模型或加工后的工件实体进行三维测量来实现的；虚拟曲面的数字化则是根据现代设计理论来进行的。

   1. 真实曲面的数字化
      真实曲面的数字化是利用三维测量技术提取实体的三维数据，从而实现真实曲面的离散化。近年来，现代三维测量技术(包括传感技术、控制技术、激光技术、计算机技术等相关技术)的发展为真实曲面的数字化提供了必要的技术手段。在实现真实曲面的数字化时，最常用的三维非接触测量方法是激光测量法。
   2. 虚拟曲面的数字化虚拟曲面的数字化即是砷计出以离散数据方式表达的数字化曲面。现代设计理论及方法(包括优化设计理论、现代有限元理论及边界分析方法、CAD/CAE技术等)的发展及应用使虚拟曲面的数字化成为可能。以离散数据方式表达的新型曲面的设计已成为曲面设计的重要发展方向。
2. 数字化曲面及其微观特性
   近几十年来，在生产实践中出现了许多不能用数学表达式描述的曲面，如外形曲面中包含剧烈变化曲面的雕塑曲面、基于飞机、车身表面的自由曲面以及由众多简单曲面拼接而成的复杂曲面等。由于数字化曲面是通过对曲面的数字化处理而形成的，因此一般来说其具体数学表达式未知。目前，国内对数字化曲面的研究处于起步阶段。国外虽然从二十世纪八十年代即开始对数字化曲面进行研究，但对其迄今尚无公认的定义。通常认为，数字化曲面表示一个连续曲面的数字化点集合。数字化曲面不一定是一种真实存在的曲面，它可以三维矩阵形式存储于计算机中。本文研究的数字化曲面分为两种形式：一种是通过数字化设计计算得出；另一种是加工后经过测量得出。
   一般来说，曲面的微观特性包括其法(主)矢、主方向、切矢、高斯曲率等。曲面的微观特性影响曲面的传动效率、加工质量、受力状况等。应用微分几何理论可以对基于解析连续的一般曲面的微观特性进行完备的描述，但对于只有离散点信息的数字化曲面却无能为力。由于数字化曲面具有离散的特点，因此其微观特性的求解方法也不同于一般曲面，如求法矢时可将法矢公式离散化，采用数值逼近方法求解；也可用围绕某点的三角形面的法矢代替该点法矢；有人采用局部样条的方法求解三点或五点中的中点切矢；还有用参数二次曲线求解主方向、用B样条曲面求解法曲率、用三点圆弧方法求解法矢等多种方法。综合分析可知，求解数字化曲面微观特性的方法主要可分为数值方法和计算几何方法。数值方法是将连续问题离散化，如在某一点用台劳展开方法求解切矢；计算几何方法主要是用样条曲面将数字化曲面转换为解析曲面，然后用解析曲面的微观特性代替数字化曲面的微观特性。但是，采用上述方法求解数字化曲面的微观特性时，不可避免地存在一定的原理误差(如用不同的样条曲面拟合数字化曲面后求得的法矢并不相同)。
   数字化曲面展成方法的研究对象是一对共轭曲面———刀具曲面与数字化曲面。根据共轭原理可知，通过求解刀具曲面的微观特性，即可求得与其共轭的数字化曲面的微观特性。
3. 数字化曲面的共轭理论
   共轭曲面理论的研究对象是几何图形及其共轭运动，它的任务是研究在机械加工、机械传动条件下共轭几何图形与共轭运动之间的内在联系及相互转换，在实际应用中则体现为五类共轭曲面(曲率)的求解问题。
   近几十年来，在生产实践中遇到了一些富于挑战性的问题，如准双曲线齿轮的啮合、弹性齿轮的接触等，这些传动方式突破了传统机械传动理论的刚体假设规范及连续性假定，从而推动了共轭曲面理论的研究。共轭曲面理论研究的典型内容包括研究成对弹性体曲面几何图形及其共轭运动的弹性共轭曲面原理、将手工推导计算转换为计算机自适应处理的离散解析共轭曲面原理、突破了两曲面必须连续相切接触的假定、将模型转换为标杆函数的共轭曲面数字仿真原理等。数字化共轭曲面理论主要研究由离散点集表达的数字化曲面与共轭解析曲面之间的联系与运动，它突破了传统共轭理论所要求的两成对共轭曲面必须为解析曲面的限制，其实质是要对传统的解析共轭曲面原理进行数字化离散改造，即将其中的连续变量离散化。对于可离散化变量如位矢，可具体离散到某一点的位矢；对于不可离散化变量如某一点的法矢、曲率等有赖于对解析式求导的变量，则需要通过其它数学方法加以解决。因此，数字化共轭曲面理论需要解决如何将不可离散化变量离散化的问题。数字化共轭曲面理论脱胎于传统的共轭解析理论，它应用现代数值方法，借助于计算机对数据的离散处理能力，将宏观的、连续的曲面共轭问题转化为微观的、离散的点—点共轭问题。数字化共轭曲面理论将为数字化曲面的展成提供理论依据。
4. 数字化曲面的展成与应用
   数字化曲面的展成问题是数字化共轭曲面理论的第五类问题，即已知共轭的以解析方式表达的刀具曲面和以离散方式表达的数字化曲面(啮合面)，求两共轭曲面的共轭运动的问题。对于引入了离散表达曲面的共轭问题，国内外学者进行了大量研究。有人尝试采用自由曲面加工方法来加工数字化曲面，但发现加工精度往往难以达到要求。有人提出用离散表达的刀具曲面来求解所加工的工件轮廓曲面，其中离散点可分为两种情况：①已知各离散点的坐标及切线斜率，求解方法是从刀具曲面的一个离散点出发，找出满足啮合要求的工件轮廓曲面上点的坐标；②仅给出了离散点坐标，此时可采用三次样条函数的方法求出各点的切线斜率，从而将其转化为第一种情况进行求解。有人提出根据刀具曲面的数学模型(解析式)来求解所加工工件轮廓的离散表面。刀具数学模型为
   r
   _{1(1)=r0(1)+Ar2(2)AIn2(2)r0a+Aar2(2)=0} 式中，
   r
   _{1，r2为位置矢量，(i)表示在坐标系i中研究问题，r0为不同坐标系原点之间的距离，A为变换矩阵，In2为曲面法矢，a为运动参数，下标a为函数对a的求导。通过将上述数学模型转化为计算模型，然后采用计算机区域搜索算法来求出刀具加工的离散表面。有人在研究离散齿面对应的啮合齿面时，提出了数值化啮合曲面的数学模型}
   ¢[t,x 1(u), y 1(u), dx 1(u)/du, dy 1(u)/du]=A[t, x 1(u), y 1(u)]-B[t, x 1(u), y 1(u)]dy 1(u)/du式中，x 1，x 2，y 1，y 2分别为曲面1和2上点的位置坐标，%为时间参数，’ 为几何参数。通过将问题转化为求每个离散点的导数dy i/dx i，然后采用对插值函数求导的方法加以解决。有人研究了对真实齿面(非理论解析式表达的、实际加工出来的齿面)与理论齿面进行啮合分析时存在的问题，提出采用插补方法将真实齿面拟合为解析曲面进行研究的解决方法。数字化曲面展成问题的研究与上述问题有一定相似性，其关键是解决离散化问题，其理论依据是数字化共轭曲面原理。已知两共轭曲面，可利用数值法求解对应的共轭运动。该问题可看作齿轮机构分析的逆命题，即已知机构简图和两运动构件齿面，用数值解法求解其运动规律。
   数字化曲面展成是根据数字化曲面上的离散点找出与之对应的刀具解析面上的对应点，然后求出两点分别通过各自的共轭运动到达共轭接触点。曲面共轭必须满足两个基本条件：①接触条件：
   r
   1=r2，e1=e2，即两曲面的共轭点和曲面单位法矢分别重合，根据接触条件可求出两曲面通过各自运动到达接触点；②连续传动条件：e·v12=0(e⊥v12)。根据连续传动条件可求出满足连续接触传动的瞬时传动比，由此可求出实际加工中机床所需的运动参数。现对两个基本条件的数学表达分析如下。

   1. 接触条件
      坐标系s 1，s 2分别与两共轭曲面固连，s为固定静止参考坐标系。设在坐标系s 1，s 2中给出两曲面的方程。其中，刀具曲面的解析表达式为 {
      r
      _{1=e1(u1, v1, w1)f1(u1, v1, w1)=0{e1=(u1, v1, w1)f1(u1, v1, w1)=0式中，u1，v1，w1为曲面位置坐标，其中只有两个独立变量。e1为刀具曲面在点(u1, v1, w1)处的单位法矢。}
      数字化曲面的解析表达式为数字化曲面位置坐标数据点的集合，即
      r
      _{2={(u, v, w)|(ui，vi，wi)，i=0，…，n｝}
      e
      _{2为由数字化曲面上点(u, v, w)|(ui，vi，wi)所确定的单位法矢，因此可看作(u, v, w)|(ui，vi，wi)的表达式。由接触条件可知 r 1=r1(u1，v1，w1，a1)=r2(ui，vi，wi，a2)
      e1(u1，v1，w1，a1)=e2(ui，vi，wi，a2) 式中，a1，a2为运动参数(即转角)。为简化起见，假设共轭运动为单参数运动，即共轭运动中的两种运动(绕轴线的转动和沿轴线的平动)均可用运动参数a表示。多参数运动的原理与此类似。}
      上述曲面方程可转换为7个独立方程，而未知参数有8个(u
      _{i，vi，wi，a2，u1，v1，w1，a1)，因此可用其中一个参数表达其它7个参数。数字化曲面的数据点(ui，vi，wi)已知，因此可用数字化曲面上的一点来确定两共轭曲面的共轭运动。固定该参数的值，即可求出其它参数，它们都是ui的表达式。}
   2. 连续传动条件
      假设刀具转速恒定，被加工数字化曲面转速为变速，可利用啮合方程式求出传动比i
      _{12=w1/w2。根据连续传动条件有 e 1·v^{12=e1·[(w1-w2)r1-Rw2]=0} 式中，w1为刀具的转速，w2为数字化曲面的转速，v^{12为两共轭曲面的相对运动速度。在该方程中，径矢r1和单位矢量e1已知，w2，w1方向已知，w2作用线上任一点的径矢R的大小、方向已知，当给定w1的模，可求出w2的模，由此即可求出传动比i12的大小。}}

   采用上述方法可求出数字化曲面上一点所确定的两共轭曲面对应点的共轭运动。同理可求出数字化曲面上所有点确定的共轭运动。最后对这些共轭运动进行一定的排序处理(如将任意转角q
   _{i按递增顺序排列为刀具的递增转角进行加工)。}
   齿轮曲面是工程曲面中最典型的复杂曲面，齿轮加工在制造业中具有举足轻重的关键地位，因此可利用
   数控磨床的精密加工性能对数字化齿面进行展成加工，从而验证数字化曲面展成方法的有效性。

3 结语