可转位球头立铣刀端刃几何造形
纵览国内外相关资料，尚无可转位球头立铣刀的理论计算与造形的有关报
道。借助于几何造形的基础理论，并结合整体式球头立铣刀端刃的某些优点，本文建立了可转位球头立铣刀端刃几何造形的数学模型，使用该模型，可计算出刀体上端刃刀片槽的加工调整参数、刀片圆弧半径以及切削角度沿铣刀端刃的分布情况。
一、数学模型
图1 坐标系
有良好切削性能的整体式球头立铣刀具有S型端刃(如图1)，若使可转位球头立铣刀的端刃也具有类似于整体式球头立铣刀的S形端刃，可将刀片的切削刃沿整体式球头立铣刀的S形刃安装搭接，此时，刀片上某点的切线应与整体式球头立铣刀S形端刃的对应点的切线重合，再使刀片沿该切线旋转适当的角度，以形成所需的前角与后角。
o-xyz与刀片坐标系oo-xoyozo，铣刀系中，OZ轴与铣刀轴线重合，球面半径为R，又设刀片前刀面为平面并位于刀片系的yozo平面内，刀片后刀面为锥面，设半锥角为b，锥面的轴线垂直于刀片前刀面，前刀面与后刀面的交线为圆弧形切削刃，设半径为r，将切削刃的中点置于O0点。
1.整体式球头立铣刀S形端刃切幺矢
(1)
式中
x，q——参变量
z——螺旋面导程
z
2＋y2＋z2＝R2 (2)
式中
rx＝R 2 (3)
式中 M＝
1——半径为R圆柱面上的螺旋角
(4)
(5)
T0= (6)
式中｜T｜＝ (7)
(8)
b>2.刀片安装参数计算
0点与m点重合，并且使x0轴平行于x轴；y0轴平行于y轴；z0轴平行于z轴。在刀片坐标系中，刀片O0点的切幺矢即为z0轴上幺矢的反方向。首先使刀片连同其坐标系绕x0轴反转w角，使刀片系成为o0-x0y1z1，然后再使刀片系绕y1轴反角成为o0-x1y1z2，假设此时刀片系上的z2轴正好与铣刀S形刀m点处的切线矢量重合，S形刃上的切幺矢必与z2轴上的幺矢相等，将z2轴上的幺矢写在铣刀坐标系中有
r＝Ax0(－w)Ay1(－f)r1 (9)
式中Ax0(－w)，Ay1(－f)为坐标变换矩阵，可写成
Ax1，y1
图2 刀片安装旋转变换
而 r＝［0 0 1］
T
2轴上的幺矢在铣刀坐标系o-xyz中的表达式
r＝ (10)
2轴已与铣刀S形刃的切线重合，z2轴上的幺矢必与S形刃上m点的切幺矢相等，在同一坐标系内的各分量亦应相等，对照式(8)与式(10)可得到
(11) (12)
最后再使刀片随同其坐标系绕z2轴正转y角到达o0－x2y2z2的位置，此时刀片便安装在刀体上。调整y角的大小，可使铣刀的前角与后角按需要进行调整。显然，显然，旋转角ww和y就是铣刀刀体刀片槽的加工调整参数，只是在加工刀片槽时，不是刀片转动，而是刀体沿反方向转动w、f与y值。
3.刀片圆弧半径的确定
图3 球面方程
理论的刀片圆弧半径r应为刀片安装在刀体上之后，刀片前刀面与球面的交线圆半径。如图3所示，在铣刀坐标系中，球面的方程可写成
r＝ (13)
式中 y，q——参变量
令 (14)
铣刀系o-xyz与刀片系o0-x2y2z0间的转换关系为
r＝＋Ax0，y1，z2(－w，－f，y)r2 (15)
x0，y1，z2(－w，－f，y)为坐标变换矩阵，其表达式为
Ax0y1z2(－w，－f，y)＝ (16)
式中
11＝cosfcosy
12＝－cosfsiny
13＝－sinf
21＝sinwsinfcosy＋coswsiny
22＝－sinwsinfsin＋coswcosy
23＝sinwcosf
31＝coswsinfcos－sinysinw
32＝－coswsinfsiny－sinwcosy
33＝coswcosf
r＝
或 r2＝ (17)
将式(13)，(14)代入式(17)，便得到球面在刀片系o
0-x2y2z2中的表达式为
(18)
因为理论的刀片圆弧半径应为安装后的刀片前刀面与球面的交线圆半径，令式(18)中的x2＝O有
a11cosycosq＋a21cosysinq＋a31siny ＝
上式可写成
Dcosy＋Esiny＝B (19)
式中 D＝a11cosq＋a21sinq
E＝a31 B＝
tgy＝ (20)
2，z2的表达式中便得到以参数q表示的刀片前刀面与球面交线圆的方程，在交线圆上任取三点便可求得刀片圆弧半径r。
4.铣刀端刃切削角度计算
0-x0y0z0中，刀片圆弧刃上任意点P的切幺矢可表示为
S p＝［0 －sinu cosu］T
前刀面上的法前角幺矢为
γ pn＝［0 －cosu －sinu］T
后刀面上的法后角幺矢为
a pn＝［－cosb －sinbcosu －sinbsinu］T
S
p2＝Ax0，y1，z2(－w，－f，y)Sp＝
γpn2＝Ax0，y1，z2(－w，－f，y)γpn＝
apn2＝Ax0，y1，z2(－w，－f，y)apn＝
0为
V 0＝［sinq －cosq 0］T
刀刃上任意点处的刃倾角ls，法前角γn与法后角an为
sinls＝Sp2·V0＝－a12sinusinq＋a13cosusinq＋a22sinucosq－a23cosucos (21) sinrn＝ (rpn2U0)＝ (－a12cosusinq－a13sinusinq＋a22cosucosq＋a23sinucosq) (22)
cosan＝ (apn2U0)＝ (-a11cosbsinq-a12sinbcosusin-a13sinbsinusin+
+a21cosbcosq+a22sinbcosucos+a23sinbsinucos)
(23)
0－x0y0z0中，刀片切削刃的圆弧方程可写为
r0＝
0－x2y2z2坐标系中，有
r2＝Ax0，y1，z2(－ face=symbol>q，－f，y)r0＝
a
13(Rcosycosq－xm)＋a23(Rcosysinq－ym)＋a33(Rsiny－zm)＝a32r(cosu＋1)＋a33rsinu (24)
式(24)中的参数y可由式(20)求得。上式即为参数u与的关系式，只要给出u值便可由上式求得对应的q值，进而由式(21)、(22)和(23)计算出铣刀切削角度ls，rn和an的值。
二、计算实例
m＝22.862mm，rm＝3.213mm，zm＝9.591mm；加工调整角w＝－15.378°；f＝－23.833°；y＝95°；刀片圆弧半径r＝24.947mm，切削角度沿铣刀切削刃的分布情况见下表。
三、分析与讨论
- 通过适当选择加工调整角y的值，可改变法前角γn、法后角an以及刀片圆弧半径r的理论值，这样可使在不同安装位置上刀片的圆弧半径接近相等，从而减少刀片规格；
- 改变S形刃上基准点m的位置，可使各刀片间进行合理的搭接；
- 改变正交螺旋面的螺旋角w1的值，可改变铣刀的刃倾角ls；
- 从表可知，随q角的增大，刃倾角s和法前角γn均增大，而法后角n将减小，但增大和减小的量均不大；
- 本文仅对S形端刃的前半部分进行计算，只要将铣刀绕其轴线旋转180°，后半部分S形刃的切幺矢计算
与此完全相同；
- 本模型适用于平装刀片，但只要改变刀片前、后刀面的形状，本模型亦可用于立装刀片可转位球头立铣刀加工调整参数的计算。
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