凸轮激波滚动活齿传动内齿轮齿廓修形方法

为了对凸轮激波滚动活齿传动中心内齿轮的齿廓修形进行研究，基于中心内齿轮齿形方程及数控加工提出了4种单参数修形方式，给出了考虑各参数增量的内齿轮通用齿形方程。结合单参数微量调整对齿形几何形状影响趋势的分析以及传动过程中中心内齿轮齿廓的受力特点，提出了顶根复合及转角一顶根复合2种齿形复合修形方法，给出了修形分析示例，通过复合修形可以获得预期的齿形微量修削效果。

    活齿传动结构紧凑、速比范围大、传动效率较高，当啮合构件均采用标准齿形时轮齿之间无齿侧间隙，理论上有半数活齿与中心内齿轮同时啮合传力，可获得较高的承载能力和传动刚度[1]，但在实际应用中，为补偿制造误差、便于装拆和形成合理的齿侧间隙分布，可根据具体需求对中心内齿轮的齿形进行微量修削[2]。文献[3-6]提出基于范成加工原理的齿廓修形原理，分析了单参数微调对齿廓形状的影响规律，并进一步讨论了基于多参数复合微量调整的复合修形方法。

    文献[7]提出一种凸轮激波的复式滚动活齿传动，该传动由一级内外啮合行星传动和一级凸轮激波二齿差滚动活齿传动通过激波轴串联而成，采用单片凸轮激波即可实现活齿的激波运动．文献[8]对其传动的传动结构进行了分析，导出了中心内齿轮的理论、工作齿形方程，并对齿形的几何性质进行了分析。本文研究该传动结构的中心内齿轮齿形修形问题，分析增量对齿廓形状的影响趋势。提出可获得预期修形效果的齿形复合微量修削方式。

1 中心内齿轮齿形方程

    凸轮激波滚动活齿传动原理如图1所示，激波凸轮在驱动力矩的作用下作匀速转动并产生径向作用力，推动处于啮合区(工作区)内的1、2、3号和7、8、9号活齿沿活齿架上的径向槽移动，同时各活齿与中心内齿轮工作齿廓相啮合产生的作用力又推动活齿架转动；处于非啮合区(非工作区)内的4、5、6号和10、11、12号活齿则在活齿架的反推作用下沿中心内齿轮的非工作齿廓运动，并依次返回起始位置。给定激波凸轮、活齿及中心内齿轮中任意2个构件的轮廓曲线，可根据转速变换原理及给定的速比关系确定第3个构件的齿形廓线[1]．本文选用椭圆曲线作为激波凸轮的廓线，活齿廓线选用标准外圆曲线，中心内齿轮的齿形廓线则根据传动原理来确定。

图1 凸轮激波滚动活齿传动原理

1.1 理论齿形方程

    设XOY为与中心内齿轮固联的定坐标系，其坐标原点O为中心内齿轮的几何中心；XOY与XOY分别为激波凸轮及活齿架的连体坐标系。与定坐标系XOY共原点如图2所示。在传动的初始位形处，坐标系XOY、XOY及XOY彼此重合，活齿中心O位于OX”轴上。由凸轮激波滚动活齿传动原理可知，在传动过程中活齿与激波凸轮始终保持接触，故活齿中心O相对于XOY的运动轨迹即为激波凸轮的理论廓线，以活齿半径r为偏置距的内等距曲线。则为激波凸轮的工作廓线。同时。活齿中心O相对于XOY的运动轨迹即为中心内齿轮的理论齿形廓线(活齿中心的运动轨迹)，而中心内齿轮的工作齿形廓线则为其理论齿形廓线偏置活齿半径r的外等距曲线。

图2 中心内齿轮齿廓形成原理

    令XOY相对于XOY在任意时刻转过α角。同时XOY带动活齿中心O相对于XOY转过θ角，而且转角α及θ满足给定的输入-输出速比条件α/θ=i(i为传动比)。则由图2可知，坐标原点O与活齿中心O的连线OO相对于坐标系XOY的OX轴的角度为(α-θ)，进而根据椭圆曲线的极坐标描述形式可得

    (1)

    式中，a和b分别为椭圆的长、短轴长度，与(α-θ)分别为椭圆曲线上点O的极径和极角。

    又因为XOY相对于XOY的转角为θ，则可进一步得到中心内齿轮在XOY系中的理论齿形方程

     (2)

1.2 工作齿形方程

    因中心齿轮工作齿廓曲线为其理论齿廓曲线以活齿半径r为偏置距的外等距线，由式(2)得

    (3)

    式中，正负号由该点所处的象限决定[9]；ζ为活齿与中心内齿轮啮合点处的倾斜角，即公法线方向与X轴正向的夹角，且

(4)

2 中心内齿轮齿形加工及单参数修形

2.1 内齿轮齿形加工

    中心内齿轮工作齿廓是其理论廓线的外等距线，在进行数控加工时应根据给定的工作齿形并以选定的刀具半径为偏置距向内偏置获得刀具的加工路径；同时，刀具半径应小于工作齿廓在齿根处的曲率半径。由于中心内齿轮在传动过程中承载较大。希望其齿形具有较高的加工精度。加工时先进行数控铣削粗加工及半精加工，并留出一定的精加工余量。最后采用数控磨削精加工。激波凸轮参数a=120mm，b=116mm，传动比i=16的中心内齿轮齿形如图3所示；为采用PRO／NC生成的工作齿形仿真加工路径如图4所示。

图3 理论廓线(内)及工作廓线(外)

图4 齿形加工刀具路径

2.2 单参数修形

    单参数修形效果如图5所示。其中图5(a)为齿廓的长轴修形，当△a>0时，可以实现齿根部修形；当△a<0时没有修形效果。齿廓的短轴修形效果如图5(b)，当△b>o时，可以实现齿顶部修形；当△b<O时不具有修形作用。齿形的等距修形效果如图5(C)所示。当△r>0时可以形成全齿侧间隙；参数增量△r<0时，不具有修形作用．转角△θ后的修形效果如图5(d)所示，得到的修形曲线与理论工作廓线形状相同，只是各对应点的圆周位置发生了微量变化。

图5 单参数变化对齿形的影响

    在进行中心内齿轮齿形微量修削加工时，等距修形以及长、短轴修形的实现方式是刀心按中心内齿轮理论齿廓轨迹运动，式(3)中的参数r、a及b分别由对应r±△r、a±△a和b±△b替代；转角修形的实现方式则是刀心按式(2)运动，中心内齿轮工件在原工位附加微量转角△θ，尽管采用单参数修形时负参数增量△r<0、△a<0和△b<O不具有修形效果，但在考虑齿廓的复合修形时，通过不同修形参数正、负增量的合理组配可以获得较好的修形效果。综上有如下中心内齿轮通用齿形方程

    (5)

    式中

3 中心内齿轮齿形的复合修形

3.1 顶根复合修形法

    仅通过长、短轴修形和等距修形等单参数增量修形方式形成的齿廓不能达到顶、根同时修削的目的，可将上述单参数增量两两组合、并令各对组合参数取正负交叉增量实现齿廓的复合修形，称为中心内齿轮的顶根复合修形。

    根据中心内齿轮通用齿形方程(5)可知，实现顶根复合修形方法有3种，即长轴一短轴复合修形、长轴一等距复合修形和短轴一等距复合修形，各自对组合参数((±△a，±△b)、(±△a，±△r)、(±△r，±△b))交叉取正负增量。复合修形方式得到的修形齿形曲线如图6所示，最外侧各段曲线组合对应于的修后齿形廓线。

图6 顶根复合修形

    修形曲线与理论工作廓线在啮合齿廓的中段相交，通过合理选配参数增量可以实现相交点彼此重合；齿廓的顶、根部分都能获得较大的修削量，同时顶、根间工作齿廓段的长度可以通过调节相应修形参数的变化来控制；修形曲线在拐点处曲率变化很小，能保证整条曲线的光顺性。

3.2 转角-顶根复合修形法

    在中心内齿轮齿廓转角修形的基础上，再对齿廓进行顶根复合修形的修形方式为中心内齿轮齿廓的转角一顶根复合修形[1]，其中转角修形的目的是实现理论工作齿廓的整体移动，而顶根修形的作用是距后工作齿廓的顶、根部位进行微量修削。图7所示为转角修形与短轴一等轴、长轴一等距和长轴一短轴等顶根复合修形法综合形成的齿廓曲线示例。由图7知，3种修形方式得到的修形效果相类似，结合图7(a)所示转角一短轴一等距复合修形齿廓的特征可以看出此类修形方式的特点：修形后的齿形曲线在一个根顶范围内(半个齿形)由AB、BC和CD(最上侧的各段曲线)三段曲线综合而成，AB段由负短轴、正等距修形得到，主要修削转角修形后移动齿形的齿根部分；CD段由正短轴、负等距修形得到，负责修削移动后齿廓的齿顶部分；BC段为原理论工作廓线的齿廓中段；AB、CD段为中心内齿轮齿形的非工作齿段，通过对根、顶的修削从消除了受力状态不好或啮合效率偏低的根顶啮合区；BC是中心内齿轮的啮合工作齿段，BC段越长传动装置的重合度(实际啮合齿数与理论齿数之比)越大。传动的承载能力就越强。

图7‘转角-顶根’复合修形

4 齿形修形示例

    取激波凸轮理论廓线的长轴长a=120 mm，短轴长b=116mm，内齿轮齿数为z=30，传动比i=16，活齿滚子半径r=4mm，选取顶根复合修形法中的(+△a，-△r)；(-△a，+△r)复合修形及对应的转角-短轴-等距修形法，其中△b=±0.3mm，△r=±0.15mm，△θ=0.005，2种复合修形法都能针对中心内齿轮的受力对齿形进行修整，对受力状态较为恶劣的齿顶部分修形较多。另由图8(a)可见，按长轴-等距修形法得到的修形曲线在齿廓的顶根段都能得到修削，修形曲线拐点处曲率变化不大，整条曲线光滑平顺；由图8(b)知，由转角-长轴-等距修形法得到的修形曲线中部保持原啮合齿廓，既吸取了顶根修形的优点。又保持了活齿多齿啮合的良好性能，是一种能综合提高承载能力和传动性能的齿廓修形法。需要说明的是转角一顶根复合修形法的修形过程相对复杂，其中的转角修削过程要分两步实现，且2次的中心内齿轮工件附加微量转角等值反向，每次附加微量转角后只能修磨中心内齿轮不同轮齿的同半侧齿廓。

图8 复合修形的修后齿形

5 结论

    凸轮激波滚动活齿传动的中心内齿轮具有4种单参数修形方式，即长轴修形、短轴修形、等距修形和转角修形．其中。长(△a>O)、短(△b>O)轴修形可分别获得较大的齿根及齿顶间隙，等距(△r>0)修形可得到理论工作齿廓的等距齿形，而转角修形(△θ≠0)得到的修削齿形则为理论工作齿形的定点转动廓线，若仅通过单一参数的微量调整较难获得理想的齿形修形效果。根顶复合修形以及转角-根顶复合修形考虑了多种单参数修形方式对中心内齿轮齿形的影响，能综合不同单参数修形方式的特点，通过选择适当的复合修形方式及修形参数增量可获得预期的中心内齿轮齿形。