一种测定圆柱螺旋铣刀各阶固有频率的方法
1 前言
提出了一种考虑刀杆柔性的铣削过程模型。该模型将“刀具”系统简化为分布动态铣削力激励下在其静平衡位置附近发生双向横振动的柔性悬臂梁。基于该模型对刀杆的动态变形进行数值仿真，在这之前，需要获得刀杆的各阶固有频率值。然而，由于螺旋棒铣刀的截面形状不规则（见图1），无法用公式直接计算截面惯性矩。若用公式：
图1 圆柱螺旋铣刀横截面示意图
(1)
式中：Cq——当量系数；
D——铣刀直径。
求得铣刀截面的惯性矩，则当量系数的选取存在很大的主观性。运用GREEN公式将区域积分化成边界积分，试图通过数值方法确定刀杆的截面惯性矩，然而该方法的精度对所划分的边界单元的个数十分敏感，而且单元的划分没有一定的规则可循，人为因素显得过分突出。况且，即便能够获得准确的截面惯性矩，而材料的弹性模量也只能在一个大致范围内选取，因此，不可能借助公式(2)获得准确的刀杆各阶固有频率。
（2）
式中：ωn——铣刀实际工况下的第n阶固有频率；
l——铣刀工作时的实际悬臂长度；
knl——频率方程
的第n个根，可通过作图法求出。它的前5个根见表1；
ρ——铣刀材料单位体积质量；
A——铣刀有效横截面积；
E——铣刀材料的弹性模量；
I——铣刀截面的有效惯性矩。
表1 频率方程的前5个根
k
1lk2lk3lk4lk5l1.875 14.694 17.854 810.995 514.137 2
为了解决这一问题，本文采用实验的方法先测得刀杆的有效截面系数
，这样，对于同一把铣刀，当悬臂长度不同时，也可通过公式(2)求得其比较精确的各阶固有频率值。
2 有效截面系数测定原理
图2所示为测量装置示意图。测量时，用橡皮槌敲击紧固在三爪卡盘上的被测铣刀，响应信号通过加速度传感器，经电荷放大器放大，再经A/D转换，进入计算机。通过模态分析软件包作FFT变换，即可获得响应频谱。若测得铣刀的基本固有频率为ω1，测得的悬臂长度为l，那么其有效截面系数：
1.被测铣刀；2.加速度传感器；3.有机玻璃套；4.激振用橡皮槌。
图2 铣刀有效截面系数测定原理示意
(3)
实际测定时，可取其多次测量计算的平均值。
有效截面系数ζ测定之后，将其代入公式(2)，便可获得铣刀比较精确的各阶固有频率值。
3 应用实例
3.1 有效截面系数的测定
为了表明该方法的有效性，现以8的直柄平头圆柱螺旋铣刀为例，进行实测计算。该铣刀的相关参数见表2。
表2 铣刀及相关参数
铣刀名称齿数法向前角法向后角螺旋角8×95直柄加长立铣刀315°±2°10°±2°45° 为了真实准确地获得该铣刀的有效截面系数ζ，本文在三组不同的悬臂长度下分别测出其一阶固有频率（对每一组悬臂长度也可多测几次），然后取其平均值。表3列出了三种悬臂长度对应刀杆的一阶固有频率实测值、有效截面系数ζ和其平均值ζ，以及对应悬臂长度下刀杆的二阶固有频率计算值和实测值。
表3 有效截面系数
悬臂长度
(mm)一阶固有频
率实测值
(Hz)有效截面
系数ζ平均值
二阶固有
频率计算
值(Hz)二阶固有
频率实测
值(Hz)79804.78.9758.7284 9044 930.672.5859.48.0725 8235 874.380.5789.19.1384 7234 732.4 如上表所示，该铣刀的有效截面系数ζ=8.728。将它代入式(2)，即得该铣刀在悬臂长为68 mm时的一阶固有频率f
1=1 057 Hz。
3.2 刀杆变形仿真
现以实际切削实验数据为依据，提出的铣削过程模型，对立铣过程中刀杆产生的总体变形量进行仿真。已知：仿真时间间隔Δt＝0.02 ms，仿真时间t=130 ms，铣削过程参数见表4。
表4 铣削过程参数
铣刀直径 D8 mm铣刀齿数 N
t3主轴转速 n318 r/min铣削深度ap10 mm每齿进给量 f0.059 75 mm/齿铣削接触弧深de1 mm铣刀悬臂长度 l68 mm铣削方式逆铣工件材料45钢冷却液无 图3是在上表所列铣削过程条件下，刀杆在两个齿间周期内的动态位移仿真曲线，其中：x
2、x1分别为立铣刀自由端（该点到夹紧端距离为68 mm）和距夹紧端58 mm处在x方向的位移分量；y2、y1分别为立铣刀自由端处和距夹紧端58 mm处在y方向的位移分量。
图3 刀杆总体位移仿真曲线
从仿真结果可以看出，刀杆的动力响应是在静态变形之上迭加一个高频动态分量而成。这说明铣刀的总体变形由动、静两部分组成，且在一般稳态切削条件下，静变形占主要地位，从宏观上将导致一定量的几何形状误差和波纹度。
4 结论
本文通过引入刀杆有效截面系数的概念，提出了一种在不同悬臂长度下确定刀具各阶固有频率的新方法。对于同一把铣刀，经一次性测量计算得到其有效截面系数之后，就可用它确定该铣刀在不同悬臂长度时比较精确的各阶固有频率值，无需再去关心刀具材料特性参数和几何参数。
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