变截面悬臂梁在任意载荷作用下弯曲问题研究

摘要：本文提供了一种求解变截面悬臂梁在任意载荷作用下最大正应力及最大变形的方法。此种方法运用了以能量为基础的瑞利-李兹法求挠度，避免了一般材料力学中采用直接积分的方法所带来的困难。运用此方法对两例不同截面、不同载荷作用下的悬臂梁的最大正应力及最大变形求解，其过程较简洁。可以看出此法具有通用性，能方便地解决此类问题。
关键词：悬臂梁；载荷；应力；变形
中图分类号：TB301

Bending of Cantilever Beams of Variable
Cross Section under Arbitrary Loads

Yang Jiaming　Zen Liuzen　Xiong Cunhui
(Dept.of Applied Engineering,Nanchang Institute of Aeronautical Technology)

Abstract:We know that the cantilever beams are commonly used in engineering structure. Strength and stiffness should be considered in design of the structure. In the paper, the Rayleigh-Rits method is presented. It does not need direct integration which is often used in context of strength of materials. It may solve the problems of maximum stress and maximum deformation of cantilever beams with variable cross section under arbitrary loads. Two examples are presented using computer aided calculation and sophisticated equations maybe rapidly solved in the way.
Key words:cantilever beam,loads,stress,deformation

前言

　　悬臂梁是工程上常见的一种梁，工程设计中必须考虑其强度及刚度，计算许用应力及最大允许变形。本文就变截面悬臂梁在任意载荷作用下的弯曲变形的最大正应力及最大变形的计算，提供了一种具有通用性的方法使设计者能比较方便地求解出最大正应力及最大变形。其中，运用了以能量为基础的瑞利-李兹法求挠度，使得变截面梁的挠度可顺利求得。并利用计算机辅助计算，使得一些复杂的方程得以快捷解出。

1　基本理论及求解途径

1.1　最大应力σ_{max的求法
　　对悬臂梁设定其坐标如图1，受任意分布载荷q(x)作用，梁长为L。}

图1

　　根据弯矩的定义：

M(x)=-∫^{1-x_0q(x+t)tdt}

或者

M(x)=-∫^{l_{xq(t)(t-x)dt　　(1)}}

　　悬臂梁在q(x)作用下，任一点最大正应力为：

σ_{max(x)=｜M(x)／Wz(x)max｜　　(2)}

令　dσ(x)／dx=0可得：

F=f(x)

利用计算机编程解此方程，其流程图如图2：

图2

　　求出边界值σ(0),σ(L)。
　　如果方程无解，则比较σ(0)，σ(L)中较大的为σ_{max。
　　如果方程有解，则比较σ(0)，σ(L),σ(Xr)中较大的为σmax。
　　如果载荷为集中载荷或者分段函数，也可作为特殊的分布载荷，分段处理。
1.2　最大变形fmax的求法
　　利用瑞利-李兹法
　　假设fi(x)满足边界条件，其挠度方程可表示为：}

y(x)=Σa_{ifi(x)　　(i=1……n)　　(3)}

则载荷做功为：

W=-∫^{L_{0q(x)y(x)dx　　(4)}}

弯曲应变能为：

　　(5)

W与U分别对a_{i求全微分：}

dW=A_{1da1+A2da2+……+Andan
dU=B1da1+B2da2+……Mndan}

因　　　　　　　　　　　　　dW=dU　　(6)

则da_{i前面的系数分别相等，列出方程组，解出每一个ai值，代入(3)式，即可求出悬臂梁在特定载荷下的挠度方程，最大变形fmax即为最大挠度：}

f_{max=｜Y(L)｜}

2　数值计算

　　假设悬臂梁为等截面梁，受均匀载荷q(x)=w作用如图3：

图3

　　则弯矩为：

M(x)=-∫^{L-x_{0wtdt
=-w(L-x)2／2}}

任一点正应力为：

σ(x)=｜［w(L-x)^{2／2］(bh2／6)｜
=3w(L-x)2／(bh2)}

显然当x=0时有应力最大值：

σ_{max=3wL^2／(bh2)}

假设其挠度方程为：

y=a_{0+a1x+a2x^2+a3x3}

边界条件为在x=0处y_{c=y^{′c=0,因此a0=a1=0,则：}}

y=a_2x^2+a3x3

由(4)式：

W=-∫^{L_{0wy(x)dx
dW=-(w／3)da2-(w/4)da3}}

由(5)式：

U=∫^{L_{0［EIZ(y″)2／2］dx
dU=2EIzL［(2a2+3La3)da2+3L(a2+2La3)da3］}}

由(6)式：

-w／3=2EI_{zL(2a2+3La3)
-w／4=6EIzL^2(a2+2La3)}

由上式解得：

a_{2=-5wL^{2／(24EIz);
a3=wL／(12EIz)}}

代入挠度方程得：

y=-5wL^{2x2／(24EI_{z)+wLx3／12EIz)}}

此悬臂梁最大变形为：

f_{max=｜y(L)｜=wL^4／(8EIz)}

　　假设悬臂梁为变截面梁，任一截面为矩形，如图4所示，其高度h(x)=m+(n-m)x／L,受载荷q(x)=q_{0x^{2／L2作用。
　　则截面的惯矩为：
　　　Iz(x)=［h(x)］3b／12
　　　　　=(b／12)［m3+3m2(n-m)x／L+3m(n-m)2x2／L2+(n-m)3x3／L3］
则截面的抗弯截面模量为：2}}

W_{z（x)=b［h(x)］^{2／6=b［Lm+(n-m)x］2／(6L2)}}

图4

弯矩为：

M(x)=-∫^{L-x_{0(x+t)2tdt
=-(q0／12L2)(x4-4L3x+3L4)}}

正应力为：

σ（x)=｜M（x)／W_{z（x)｜
=｜q0(x^{4-4L3x+3L4)／｛2b［Lm+(n-m)x］2｝｜}}

令dσ(x)／dx=0
并假设L=1m,m=0.1m,n=0.05m可得方程：

x^4=4x3+2x+1=0

利用计算机解此方程得：
x_{r=1,并比较x=0和x=L处的应力值得到：}

σ_{max=σ(0)=15q0／b}

　　假设其挠度方程为：

y=a_{0+a1x+a2x^2+a3x3+a4x4}

边界条件为在x=0处y=y^{′=0,因此a_{0=a1=0,则：}}

y=a_{2x^2+a3x3+a4x4}

由(4)式：

W=-∫^{L_{0［q0x2(a2x2+a3x3+a4x4)／L2］dx
dw=-(q0／5L2)da2-(q0／6L2)da3-(q0／7L2)da4}}

由(5)式：
　　U=(E／2)∫^{L_{0(b／12)［m3+3m2(n-m)x／L+3m(n-m)2x2／L2+(n-m)3x3／L3］
　　*［(a2x2+a3x3+a4x4)″］2dx}}

dU=Eb(37.5a_{2+39a3+42a4)／240000da2+
　　Eb(39a2+63a3+576a4／7)／240000da3+
　　Eb(42a2+576a3/7+837a4／7)／240000da4}

由(6)式：

-q_{0／5=Eb(37.5a2+39a3+42a4)／240000
-q0／6=Eb(39a2+63a3+576a4／7)／240000
　　-q0／7=Eb(42a2+576a3／7+837a4／7)／240000}

由上三式得：

a_{2=-1389q0／（Eb)
a3=-459q0／(Eb)
a4=524q0／(Eb)}

代入挠度方程得：

y=(-1389x^{2-459x3+524x4)q_0／(Eb)}

此悬臂梁最大变形为：

f_{max=｜y(1)｜=1324.486q0／Eb}

3　结果

　　通过以上两例的计算，证明任意载荷作用下变截面悬臂梁的最大正应力及最大变形可用本文所介绍的方法。此种方法解决了一般材料力学中直接积分所带来的麻烦。为工程实践提供了一种便捷的方法。