插补方法之比较积分法
比较积分法又称为脉冲间隔法。我们知道，以积分原理为基础构成的数字积分法，可以灵活地实现各种函数的插补和多坐标直线的插补。但是，由于其溢出脉冲频率与被积函数值大小有关，所以存在着速度调节不便的缺点。相反，逐点比较法由于以判别原理为基础，其进给脉冲是跟随指令运算频率（脉冲源频率）的，因而速度平稳，调节方便，恰恰克服了数字积分法的缺点。但它在某些二次曲线的插补计算上不大方便。如果我们能把两种方法结合起来，吸收各自的优点，就能得到更为理想的脉冲分配方案。比较积分法就是在这种背景下产生的新型脉冲分配方法。
1.比较积分法的原理
我们先用直线插补来说明。在数字积分法的介绍中已经知道，一个函数的定积分可以用矩形公式求和来近似计算。
如果已知一条直线的方程为
式中xe，ye为直线的终点坐标。
如果引入时间变量t，分别对被积函数xe和ye进行积分就得到数字积分法的直线插补。我们现在不这样做，而是设法用比较判别的方法来建立两个积分的联系。先将上式改写为
用矩形公式来求积就得到
或
图2-32 脉冲分配序列
此式表明，x方向每发一个进给脉冲，相当于积分值增加一个量ye；y方向每发一个进给脉冲，积分值增加一个量xe，为了得到直线，必须使两个积分相等。
根据式（2-38），我们在时间轴上分别作出x轴和y轴的脉冲序列，如图2-32所示。把时间间隔作为积分增量，轴上每隔一段时间ye发出一个脉冲，就得到一个时间间隔ye；y轴上每隔一段时间xe发出一个脉冲，就得到一个时间间隔xe。在x轴发出x个脉冲后，其总时间间隔为式（2-38）的左边，即
同样，如果y轴上发出了y个脉冲，其总的时间间隔为积分式（2-38）的右边，即
由公式（2-38）可知，要实现直线插补，必须始终保持上述两个积分式相等。为此，与逐点比较法相似，我们引入一个判别函数，所不同的是，这个判别函数定义为x轴脉冲总时间间隔与y轴脉冲总时间间隔之差。用F表示为
用一个脉冲源控制运算速度，每发一个脉冲，计算一次F的值，根据F的正负决定下次脉冲应如何进给。即当F>0时，说明 轴输出脉冲时间超前（即多发出ye），这时应控制y轴进行xe的累加；若F<0，则说明轴输出脉冲时间超前（即多发了xe），这时应控制x轴进行ye的累加；依次进行下去即可实现直线插补。这里，我们通过将两个积分式相比较的办法来实现插补的，所以称为比较积分法。
2. 圆弧插补运算
设一圆以坐标原点为圆心，则其方程为
考虑起点为A(x0,y0)、终点为B(xe,ye)的第Ⅰ象限顺圆弧AB，如图2-33所示。
图2-33
对式（2-40）两边微分得
亦即有
对上式用矩形公式求积就得到
亦即
令 （即脉冲当量=1）
经变量替换，上面的积分求和公式变为
上式的展开式为
图2-34
公式（2-41）表示，若用进给脉冲的时间间隔来描述圆的动点变化规律，则圆函数的脉冲时间间隔在插补过程中是变化的，在某一时刻x轴与y轴进给脉冲时间间隔之比等于动点所在位置圆的半径矢量的x分量与y分量之比。公式（2-41）是公差分别为+1和-1的等差数列，圆就可根据这组等差数列来产生。根据式（2-41）可作出如图2-34所示的第Ⅰ象限顺圆弧进给脉冲分配序列。
同理，不难得出圆函数在不同象限顺、逆时针加工情况下的矩形求和公式。
第Ⅰ、Ⅲ象限顺圆，第Ⅱ、Ⅳ象限逆圆矩形求和公式为
第Ⅱ、Ⅳ象限顺圆，第Ⅰ、Ⅲ象限逆圆矩形求和公式为
为实现圆函数插补运算也须要引进判别函数F。所不同的是除偏差运算外，在x轴（或y轴）每发出一个进给脉冲后，还得对被积函数x（或y）作加1或减1修正。
3.直线及一般二次曲线的插补算法
以类似上述的推导过程，可方便地得到双曲线、椭圆、抛物线等各种二次曲线的插补公式。对于二次曲线来说，可以用时间坐标上的两组等差数列表示其脉冲分配过程，只要改变公差的大小和符号就可以得到各种类型的曲线。
图2-35 比较积分法直线插补轨迹
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