利用直线度数据进行表面三维建模

摘　要：利用测量筒类零件直线度得到数据构造被测表面的三维模型。用EST(Error Separation Technique)测量多条母线的直线度，利用测量起止端面上的数据点求出最小二乘轴线作为工件的实际轴线。通过坐标轴旋转，将各条母线的直线度测量数据转化到以实际轴线为z轴的空间坐标系下，进而构造出被测表面的三维模型。计算机仿真证明通过横坐标轴旋转可有效地消除直接构造带来的表面变形。
关键词：直线度误差； 误差分离技术； 三维建模； 计算机仿真
分类号：TB921　文献标识码：A
文章编号：1001-0645(2000)01-0052-04

Modeling the 3D Surface with the Data from
EST of Straightness Measurement

XU Yong-kai
(School of Mechanical Engineering and Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing　100081)
WANG Xin-yi
(School of Mechanical Engineering and Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing　100081)

Abstract：To model the 3D surface of a cylinder with the data from the straightness measurement, the straightnesses of a number of generatrices were measured with the method of EST, and by means of the data of the beginning and end sections, the least square mean axis was calculated to represent the actual axis of the workpiece. By rotating the abscissas, all data of straightness were transformed into a unified 3D coordinaties whose z axis is the actual axis. Then the 3D model of the surface was constructed. The computer simulation has proved that the construction by rotating the abscissas can effectively eliminate the distortion of the constructed surface.
Key words：straightness error; error separation technique; three-dimension modeling; computer simulation▲

　　在利用EST(误差分离技术)进行筒类零件的直线度检测时，如果被测母线数目足够多，就可根据一定的算法，构造出被测表面的三维形状，由此可更加直观地了解被测表面的实际状况。但由于各条母线的直线度误差曲线有着不同的测量坐标系，为了建立三维表面模型，需要将它们统一到同一个空间坐标系下。作者以内孔检测为例，提出一种基于坐标轴旋转的坐标系统一方案。

1　母线直线度曲线的空间坐标系

1.1　EST中坐标横轴的物理意义

　　两点法的测量原理在许多文献中已有论述，在此着重讨论如何确定母线直线度误差曲线的坐标横轴。如图1所示，图中的虚线代表被测零件的实际轴线方向，而以起始位置处平行于两传感器连线方向的轴为x轴，以传感器移动的方向为x轴的正方向。如果在起始位置S_{O处传感器与实际轴线有一倾角，那么最终得到的直线度曲线在坐标系中也将有一个偏转。这种偏转不影响单条母线的直线度评定，但如果想利用多条母线的直线度误差曲线构造被测表面的三维形状，就必须对此偏转进行一定的处理，否则将导致构造的三维表面严重变形。}

图1　两点法中坐标横轴的确定方法

1.2　利用母线直线度误差曲线构造被测表面三维形状的原理
　　要想利用母线的直线度误差曲线构造被测表面的三维形状，必须建立如图2所示的统一空间坐标系。以采样起始位置处横截面的理想圆心为坐标原点O，在截面内建立u，v轴，以垂直于截面并指向测量方向的轴为z轴。图中S_{1，S2分别代表两条母线，它们的平面坐标系xiOiyi与空间坐标系uvz的关系如图2所示。图中的虚线圆表示该截面的理想圆，而δ1，δ2分别表示母线S1,S2的起点O1,O2到理想圆心O的距离d1，d2相对于理想圆半径R的差值。}

图2　统一的空间坐标系

　　建立了统一的空间坐标系之后，再将直线度误差数据由二维坐标向三维坐标转化。假设初始位置处传感器的连线方向与工件实际轴线平行，此时的x_{i轴平行于空间坐标系中的z轴。在得到基于平面坐标系xiOiyi中的直线度误差曲线后，由图中的几何关系可知，Oi距原点O的距离di等于R+δi，其方位角可由OOi与OO1的夹角αi确定。这样，就可以确定每条母线坐标原点Oi的空间坐标，用极坐标表示为}

ρ_{i0=R+δi，αi0=∠OiOO1，zi0=0　　(1)}

在确定了O_{i的空间坐标之后，母线上其它点的三维坐标也就确定了。用极坐标表示为}

ρ_{ij=ρi0+yij，αij=αi0，zij=jL，　　(2)}

式中　下标i表示第i条母线；下标j表示第i条母线上的第j个采样点；L是采样间距。

2　直线度测量坐标系中x轴的转化

　　在建立统一空间坐标系时，为简化问题曾假设传感器连线方向的初始倾角为零。但在实际测量中，初始倾角不为零。这时，如果把得到的直线度误差曲线直接用于三维形体构造，将会产生明显变形。所以，在计算采样点的三维坐标之前，必须对测量坐标系中的x轴进行转化。
　　如图3所示，OP代表传感器连线方向，OP_{x为OP在uOz平面内的投影。对uOz截面内的两条母线(相隔180°)进行测量时，其结果主要受到OPx倾角的影响。横向的微小偏移PPx对测量影响不大，可以忽略^{［1］。同理，对其他纵向截面内的母线进行测量时，也将受到OP在该截面内投影之倾角的影响。图中的两条坐标曲线是对假想圆柱体进行采样时得到的uOz截面内两条相对母线的直线度误差曲线。可见，两条曲线都因初始倾角而产生了方向相反的偏转。如果用这样的直线度误差曲线直接构造三维表面，将产生严重的变形。}}

图3　初始倾角不为零时造成的曲线偏转

图4　最小二乘圆心的求取

　　为了纠正这种偏转带来的形状变化，可在构造前将曲线的x轴按照一定规则进行旋转，使之与件实际轴线平行。在实际应用中，可用测量起止端面的最小二乘圆心的连线代替工件的实际轴线。
　　以测量的起始端面为例说明。如图4所示，G是测量圆心，令最小二乘圆心的坐标为O(a,b)，实际被测轮廓上各测点的坐标为P_{i(ui,vi)，按极坐标系获得各测点的坐标为Pi(ri,θi)，则最小二乘圆心的坐标值a,b按下式计算^［2］：}

　　式中　M为圆周上的测点数目。在求出最小二乘圆心的坐标之后，根据图中的几何关系得到以O为圆心的各采样点的极坐标方程为

　　(4)

　　在实际测量中，最小二乘圆心相对于测量圆心的偏移量(a,b)一般非常微小，可以认为α_{i与θi近似相等；加之一般传感器具有面积效应，使得这种微小误差可以忽略，采样点的极坐标方程可简化为}

　　(5)

　　同理，可求得测量终止截面上各采样点相对于其最小二乘圆心的极坐标(ρ_{iN，αi)。为了将直线度曲线的x轴旋转到与实际轴线平行的方向，对曲线上各采样点进行如下处理：}

y′_{ij=yij-j［yiN-(ρiN-ρi0)］/N(1≤j≤N)　　(6)}

经过处理之后，再按照上述方法建立空间坐标，就可以得到被测表面的三维形状。

3　计算机仿真结果

　　为验证此法的有效性，以底面半径R=50mm的理想圆柱体为例进行了直线度检测仿真，采样母线条数M=20，每条母线的采样点数N=20，采样间隔L=50mm，并以随机值代表各条母线测量起点处传感器的连线倾角，最后用得到的数据进行表面三维构造，其结果如图5所示(为显示表面变形，图形的径向尺寸有夸大)。由图中可见，未进行x轴旋转的构造结果(图5a)其横截面产生了明显的变形，而进行了x轴旋转的构造结果(图5b)则消除了这种因传感器初始倾角不为零而造成的表面形态失真。
　　通过以上讨论可知，EST中的坐标横轴代表采样起点处传感器的连线方向，而非工件实际轴线方向；通过建立统一的空间坐标系可利用多条母线的直线度误差曲线构造被测表面的三维形状；通过对传感器初始倾角造成的构造变形分析，提出了一种通过旋转曲线坐标系横轴消除表面变形的方案。

图5　计算机仿真结果