斜齿微线段齿轮原理
1.引言
现代工业的发展对齿轮传动的要求越来越高，而齿轮传动属于固体传动，要提高其传动性能，一般从三个方面考虑：材料、齿形及工艺。就齿廓而言，人们做了大量的研究工作。微线段齿轮是我们提出的一种全新啮合制齿轮传动，研究表明，微线段齿轮具有较高的弯曲强度及接触强度，且最少齿数较少（3~4齿），能很好地适应现代工业对齿轮传动性能全方位的要求，尤其是高速、重载和小型化方面的要求[2][3]。但目前我们所作的研究是针对直齿微线段齿轮而进行的，由于直齿轮的啮合情况是突然地沿整个齿宽同时进入啮合和退出啮合，从而轮齿上所受的力是突然加上或卸掉的，故传动的平稳性受到了一定的影响，且存在一定的冲击和噪音，解决上述问题的一个有效途径就是使用斜齿轮，而且，某些变速箱产品上也须用到斜齿轮，因此为了使微线段齿轮得到大面积的推广应用就必须进行斜齿微线段齿轮的研究。
2. 基准齿形——法面齿条的齿形曲线
2.1 基本思想
在用范成法加工齿轮时，是用无数直线段或平面去包络齿廓曲线或曲面。实际上由于刀具不可能切无数次，因而最终形成的齿廓曲线或曲面必然是由微小的直线段或平面连接而成的。受此启发，我们认识到只要直线段或平面足够小就可以用直线段或平面去构造齿廓曲线或曲面。
为便于用范成法加工，采用先构造基本齿条，再利用范成原理得到齿轮齿廓的方法。构造基本齿条的第一步是构造理论上连续且二次可微的曲线，当然，这个曲线是由很多段曲线“拼”起来的，然后，再根据图形学中扫描变换原理，抽取出足够多的点，用这些点决定齿廓曲线的形状，我们称之谓“离散点齿廓曲线”，再利用数控加工中的插补原理，用线性插补方法得到所需齿廓。
2.2 法面齿条的构造
通过对目前常用的齿轮优缺点分析，我们提出了构造基本齿条的法面齿条思路和方法：
1） 要使接触强度尽可能大。欲实现这一点，就要使两齿廓是凸—凹接触或是平面对平面的接触。为此，我们在宏观上采用了双圆弧齿轮的构造方法，在微观的地方实现平面对平面的接触。
2） 要使弯曲强度尽可能大。由于齿根弯曲应力与齿根厚度有着密切的联系，故在构造时使齿根加厚。
3）要使滑动系数尽可能小。滑动系数小，则摩擦磨损小，机械效率高。为实现这一点，我们在构造齿廓曲线时，确保相对滑动在每一个微段中完成，不累积到下一个微段。
*安徽省自然科学基金资助项目(01044104)
4）要能有效地防止根切。为使齿数较小时，不发生根切，在构造时，要注意到使影响“根切”的参数可调，进而保证齿数较少时，齿根曲线也能正常地参与工作。
根据以上思路，我们构造出了标准微线段齿条的法向齿廓，它是由很多微段渐开线精妙连接而成，每个微段渐开线上两端点的曲率中心是在不同位置、不同半径的基圆上，并且这些曲率中心均在齿条的节线上，如图1所示。详细的构造过程及下述公式(1)的推导可参见文献[2][3]。
图1 微线段齿条齿形
2.3 基本齿条的齿廓曲线方程
在微线段齿轮中，有三个重要的参数，它们分别是：1） ：初始压力角；2） ：参数压力角；3） ：初始基圆半径。这三个参数决定了微线段齿轮法向齿条的形状。
对于凸齿廓上任一零点k,在图1所示坐标系O1x1y1中，坐标方程为：
（1）
式中 （2）
（3）
为与 有关且按选定规律变化的第i点基圆半径。
3. 通用齿面方程
3.1 求法面齿条上任意零点的法矢
为求解齿面方程，应先求得接触点的法矢，但用式（1）求出的仅是离散点的坐标，为此，设经过所有离散点的连续曲线方程为 ，则在第k个零点处，有：
由于在微线段齿轮的一个齿廓上就有几万乃至几十万个零点，因此，相邻的两个零点之间的距离很短，故可认为，对于任意零点处有 ，所以有：
（4）
因此，法面齿条上任意零点k处的法矢为
3.2 由法向齿形求基本齿条齿形
为了导出基准齿条齿面方程式，建立如下两个坐标系，如图2所示：
图2 基本齿条的端面与法面坐标系
σ(t)——端面坐标系，O(t)x(t)y(t)与基本齿条的一个端面重合；
σ(n)——法面坐标系，O(n)x(n)y(n)与基本齿条法面重合，且与σ(t)平面的坐标原点重合。相当于图1中的O1x1y1坐标系。
设齿面上任一点在 中坐标为 ，在 中坐标为 ，该点处法矢 在 中表示为 ，而在 中可表示为 ，则有：
（5）
（6）
3.3 通用齿面方程的求解
由范成加工原理可知，微线段齿轮的齿面是基本齿条齿面的包络面，为进行求解，建立三个坐标系，如图3所示。
图3 求解齿面方程所用的坐标系
σ(0)——空间固定坐标系，其中O(0)x(0)z(0)平面与齿条节平面重合。
σ(1)——与齿条固连的坐标系，其中O(1)x(1)y(1)平面与齿条的一个端面重合，O(1)x(1)z(1)平面与齿条节平面重合，且在起始位置时，σ(1)与σ(0)重合。这儿，σ(1)相当于图2中σ(t)。
σ(2)——与齿轮固连的坐标系，其中O(2)点位于齿轮的转动轴线上，O(2)x(2)y(2)平面与齿条的一个端面重合，且在起始位置时，y(2)轴与y(0)轴重合。
设齿条移动速度为V即 ，齿轮的移动速度为ω即 ，齿轮的节圆半径为r，当齿条的移动距离为 时，齿轮转过的角度为 ，此时齿廓上的M点成为接触点。则有：
（7）
M点随齿条移动速度为： ； （8）
M点随齿轮运动的速度为：
（9）
式（8）与式（9）相减，并将式（7）代入得齿轮齿条在M点的相对运动速度：
（10）
将（6）及（10）代入啮合方程式 得：
将关系式（5）代入上式得：
（11）
又：坐标系σ(1)与σ(2)间的坐标变换式为
再将关系式（5）代入上式即可得到齿轮的齿廓方程：
(12)
对于用式（1）确定的任意零点k( )，可用式（4），（11）确定zk与 之间的关系式 ，再将它代入式（12）就可得到与零点k相对应的一条曲线，依次改变零点位置就可得到齿轮齿廓。
4. 计算实例
上述公式看上去很麻烦，但借助于计算机编程计算实际上非常方便。作者根据上述原理开发了一套斜齿微线段齿轮的齿面生成软件，算例齿轮即为采用它生成的。
例：已知，模数为4mm，齿数为20，齿宽为10mm，螺旋角为15°， ，初始压力角 ，参数压力角 。 生成的齿轮如图4所示。
图4 算例齿轮
计算所得算例齿轮齿廓的部分数据如表1所示。
表1 算例齿轮的部分数据
法面零点序号 齿面方向序号 齿面点坐标（齿顶部分） 齿面点坐标（齿根部分）
5. 结论
（1） 本文所提出的“连续曲线—离散点曲线—插补”得到斜齿微线段齿轮的齿廓的方法正确可行，思路新颖；
（2） 在研究直齿微线段齿轮取得成功的基础上，成功地解决了斜齿微线段齿轮设计的基本问题，为微线段齿轮的进一步推广应用打下了坚实的基础；
（3） 本文公式为左旋齿条加工右旋齿轮的公式，同样方法可推导出右旋齿条加工左旋齿轮公式；
（4） 本文的思路和方法为其它类似机构的研究提供了一个新的途径。
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